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Liberté, égalité, fraternité… laïcité ? (contre-argument mathématique)

Porche de l'École Nationale d'Administration (ENA)
Porche de l’École Nationale d’Administration (ENA), dans le VIè arrondissement de Paris, juste au sud du jardin du Luxembourg. – LPLT

La devise de la République française est « Liberté – Égalité – Fraternité ». Elle est sensée représenter la République dans son ensemble. Certains voudraient y rajouter le terme « Laïcité ». J’y oppose un argument inspiré des mathématiques.

Vecteurs et famille libre

La liberté, l’égalité et la fraternité sont (sensés être) les trois vecteurs de la France. Ils sont (linéairement) indépendants : ces trois concepts ne se recouvrent pas entièrement, aucun des trois n’est un simple mélange des deux autres. Ils forment donc ce qu’on appelle une famille libre.

En mélangeant les vecteurs dans les bonnes proportions, on obtient les principes fondamentaux de la République. Normalement, on n’a pas besoin de rajouter quoi que ce soit d’autre. On pourrait en débattre et dire que certains principes républicains sont faits d’autre chose que de liberté, d’égalité et de fraternité. Mais ça ne changerait rien au raisonnement : il suffirait de ne se focaliser que sur les principes formés exclusivement sur les trois vecteurs.

Bref : tout point des fondements de la République peut être décrit comme une somme des trois vecteurs, avec les bons coefficients multiplicateurs. Vu que les vecteurs forment une famille libre (c’est une condition indispensable), et vu ce qu’on vient de dire, ils forment ce qu’on appelle une base de la République.

Mathématiquement, la devise « Liberté – Égalité – Fraternité » est une base de la République Française.

Bonus : si ces trois vecteurs ne se recoupent absolument pas (càd, si on peut imaginer un pays libre mais complètement inégalitaire et sans entraide, etc.), ils sont orthogonaux et constituent une base orthogonale. De là, on pourrait diviser chacun des vecteurs « Liberté – Égalité – Fraternité » par sa norme pour en faire une jolie base orthonormale (tous les vecteurs sont ajustés pour valoir 1). Mais je laisse ça aux juristes férus de maths.

Que se passe-t-il si on rajoute la laïcité ?

La laïcité, c’est tout simplement :

  • être libre de pratiquer ou non sa religion
  • être égal quelle que soit sa religion
  • le respect et la fraternité entre toutes les confessions

Le vecteur laïcité est une somme des trois vecteurs « Liberté – Égalité – Fraternité ». Il n’est pas indépendant de ces vecteurs. Si on forme une famille « Liberté – Égalité – Fraternité – Laïcité », on a ce qu’on appelle une famille liée. Par définition, une famille liée ne peut pas être une base de quoi que ce soit.

La devise « Liberté – Égalité – Fraternité – Laïcité » ne peut mathématiquement pas être une base de la République française.

L’actualité est complexe (⊂ ℂ)

Actu complexe en-tête 2

Il ne faut pas croire que l’actu n’est faite que de réel pur et brut. Si c’était le cas, tout serait simple. L’imaginaire, ce qu’il y a dans la tête des gens, ce que les gens croient savoir sur la situation : ça c’est vachement important.

C’est justement ce mélange de réel et d’imaginaire qui rend l’actualité complexe. L’actu est donc définie un ensemble complexe, noté ℂ.

Soit z ∊ ℂ, une info. On a :

z = x + iy

avec x et y ∊ ℝ, c’est-à-dire x et y réels. i est l’imaginaire : il est tel que i² = – 1. x est la partie réelle de z (notée ℜe z), ce qui correspond aux faits purs et bruts, alors que iy est la partie imaginaire (notée ℑm z), ce que les gens croient être du fait pur et brut. Il est logique que la partie imaginaire soit la multiplication d’une chose réelle (y, la situation imaginée) et de l’Imaginaire. Non ?

Maintenant, prenons deux « imaginaires purs », c’est-à-dire sans partie réelle (par exemple, une fausse rumeur), disons ia et ib. Si vous multipliez entre elles ces deux choses purement imaginaires, vous avez ia × ib = i² × ab = – ab. C’est magique ! Le produit de l’imagination est quelque chose de réel. Et négatif ! Quand une rumeur infondée se propage, ça a des conséquences bien réelles, et souvent négatives.

Chaque info a son conjugué. Par exemple, si z = a + ib, alors son conjugué = a – ib. Si vous faites la moyenne d’une actu et de son conjugué, ça vous fait (z + ) / 2 = (a + a + ib – ib) / 2 = a. Vous obtenez alors la partie réelle dénuée du poids de l’imagination, et ça, ça peut être pratique.

En fait, vous pouvez représenter l’actu en deux dimensions, avec x et y comme coordonnées. Là ça devient merveilleux, vous pouvez appliquer le théorème de Pythagore à l’actu, faire de la trigonométrie sur de l’info ! C’est pas génial, ça ?

nombres complexes graphe

Comme vous le remarquez, l’info est placée sur un cercle (la fameuse roue de l’actualité qui tourne 24h/24h). Elle a une certaine longueur (ou taille), le module, qu’on note ρ (rhô). Le théorème de Pythagore vous rappelle que cette longueur au carré = les faits, au carré + ce qu’on croit être les faits, au carré.
Vous mettez une racine et ça nous fait ρ = √(x² + y²).

Mais quand vous traitez l’info, il vous faut bien un angle, hein ? Cet angle θ (thêta), on l’appelle l’argument. En effet, votre angle sur l’actu doit être justifié et donc argumenté. Comme vous pouvez le voir sur le graphique, quand vous inversez l’angle, vous obtenez le conjugué de l’info (utile pour vous débarrasser des parties imaginaires). Mais comment obtient-on cet angle ? Avec la trigonométrie ! Les fonctions sinus et cosinus sont cycliques et périodiques : elles ont leur fréquence, et font des vagues, comme les beaux scoops. On comprend mieux pourquoi l’actu a une tendance naturelle à tourner en rond.

sin(θ) = y / ρ et cos(θ) = x / ρ. Vu comment on est partis, on pourrait opter pour une nouvelle manière de décrire l’info : non pas comme somme de faits réels et imaginés, mais comme une formule à base d’angle et de longueur.

x = ρ cos(θ) et y = ρ sin(θ)

z = x + iy = ρ (cos(θ) + i sin(θ)) la fabuleuse forme trigonométrique de l’info !

Il y a une troisième manière de représenter l’info, toujours avec le module et l’argument. Vous n’avez pas remarqué que les hyperboles sont partout dans l’actualité ? Que tout a l’air de croître de façon exponentielle ? Eh bien ça tombe bien, il y a une forme exponentielle de l’info !

Rappelons ce qu’est l’exponentielle. C’est ex, e à la puissance x (avec e transcendantal, c’est-à-dire que lui seul est capable d’expliquer ce qu’il est et pourquoi il est comme ça ; d’autres ont essayé, ils n’ont jamais réussi). Elle peut se faire dériver une infinité de fois, elle ne bougera pas d’un poil. Elle est sa propre pente ! Vous ne réalisez pas ce que ça veut dire ? Elle décide toute seule de ce qu’elle fait, elle est la seule à se comprendre elle-même et elle n’a d’ordre à recevoir de personne. En plus, elle file plus vite que quoi que ce soit d’autre quand il s’agit de crever le plafond. À moins de pactiser avec elle, vous ne la rattraperez jamais ! Il suffit d’ouvrir un journal pour voir que l’exponentielle nous nargue de partout. Les journalistes doivent se mettre l’actu dans le sang pour avoir une chance de la rattraper.

Mais où se cache l’exponentielle dans l’actu ? Eh bien, dans cette formule :

z = ρe

Finissons en parlant des hyperboles, chose qui court les rues de nos jours. En combinant les formules trigo et expo des complexes, on a e = cos(θ) + i sin(θ). L’exponentielle n’a a priori rien à voir avec le cercle, mais on a l’exponentielle aux côtés des fonctions trigonométriques ! Ce serait cool de voir comment un cosinus et un sinus se décriraient grâce à l’exponentielle, non ?

Et si on met θ au négatif ? Cosinus est symétrique, il s’en fout du passage au négatif, donc cos(– θ) = cos(θ). Par contre, Sinus est sensible à ce genre de retournement et en est lui-même tout retourné :  il est asymétrique. Cela veut dire que sin(– θ) = – sin(θ). Donc :

e = cos(θ) + i sin(θ)  et e- = cos(θ) – i sin(θ)

On en tire que ee- = 2 cos(θ) et donc cos(θ) = (e + e-) / 2.

De même, e – e- = 2i sin(θ) et donc sin(θ) = (e – e-) / 2i.

C’est beau, mais comme vous l’avez vu aux petits i, ça reste assez imaginaire. Dans le monde réel, on a les fonctions trigonométriques hyperboliques, sinh(x) (ou sh(x)), cosh(x) (ou ch(x)) et tanh(x) (ou th(x)) qui équivaut à sh(x) / ch(x). C’est exactement la même chose que les formules au-dessus, mais sans les i. Ce ne sont certes plus des fonctions cycliques, mais les règles de calcul sont exactement les mêmes qu’en trigonométrie normale, à ceci près que vous n’avez pas besoin de mémoriser des tonnes de formules par cœur, tout se calcule très simplement (vous savez ce qu’il y a dans un sinus hyperbolique, pas dans un sinus normal).

Je vous laisse avec les courbes des fonctions trigo hyperboliques. Personnellement, la première fois que je les ai vues, j’en ai eu les larmes aux yeux <3

trigo hyper